☝ Simplification d'une fraction - Remarque

La propriété précédente implique que, pour rendre une fraction ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ irréductible « en un seul coup », il suffit de diviser $a$ et $b$ par $\mathrm{PGCD}(a;b)$ :  $\begin{array}{r}\frac{a}{b}=\frac{a^{\prime }\times \mathrm{PGCD}(a;b)}{b^{\prime }\times \mathrm{PGCD}(a;b)}=\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}\end{array}$ avec $\mathrm{PGCD}(a^{\prime };b^{\prime })=1$ , donc la fraction ${\displaystyle \frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}}$ est irréductible.

Exemple

Pour simplifier la fraction  ${\displaystyle \frac{15561}{11799}}$ , on peut d'abord calculer le PGCD du numérateur et du dénominateur.

Utilisons pour cela l'algorithme d'Euclide :

$\begin{array}{r}\begin{array}{|cccc|}\hline a& b& q& r\\ 15561& 11799& 1& 3762\\ 11799& 3762& 3& 513\\ 3762& 513& 7& 171\\ 513& 171& 3& 0\\ \hline\end{array}\end{array}$  

donc  $\mathrm{PGCD}(15561;11799)=171$ .
On en déduit que  ${\displaystyle \frac{15561}{11799}}={\displaystyle \frac{171\times 91}{171\times 69}}={\displaystyle \frac{91}{69}}$ .