☝ Simplification d'une fraction - Remarque

La propriété précédente implique que, pour rendre une fraction \(\dfrac{a}{b}\) irréductible « en un seul coup », il suffit de diviser \(a\) et \(b\) par \(\mathrm{PGCD}(a;b)\) :  \(\begin{align*} \frac{a}{b} =\frac{a' \times \mathrm{PGCD}(a;b)}{b' \times \mathrm{PGCD}(a;b)} =\frac{a'}{b'} \end{align*}\) avec \(\mathrm{PGCD}(a';b')=1\) , donc la fraction \(\dfrac{a'}{b'}\) est irréductible.

Exemple

Pour simplifier la fraction  \(\dfrac{15~561}{11~799}\) , on peut d'abord calculer le PGCD du numérateur et du dénominateur.

Utilisons pour cela l'algorithme d'Euclide :

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystrech}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r \\ \hline 15~561 & 11~799 & 1 & 3~762\\ \hline 11~799 & 3~762 & 3 & 513\\ \hline 3~762 & 513 & 7 & 171\\ \hline 513 & 171 & 3 & 0\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  

donc  \(\mathrm{PGCD}(15~561;11~799)=171\) .
On en déduit que  \(\dfrac{15~561}{11~799}=\dfrac{171 \times 91}{171 \times 69}=\dfrac{91}{69}\) .